拐点是函数图像上凹凸性发生改变的点，即曲线从凹变凸或从凸变凹的点。在数学分析中，通常是求函数的二阶导数等于零的点，并且检查这些点附近二阶导数的符号变化来确定是否为拐点。

以下是求解拐点的一般步骤：

1. 求一阶导数：首先对函数 求一阶导数 。

2. 求二阶导数：接着对一阶导数 再求导，得到二阶导数 。

3. 解二阶导数等于零的方程：解方程 以找到可能的拐点横坐标。

4. 检查凹凸性：对于每一个解 ，检查 在 左右两侧的符号。

   • 如果 在 的左侧为正，在右侧为负，那么 是一个拐点。
   • 如果 在 的左侧为负，在右侧为正，那么 也是一个拐点。
   • 如果 在 的左右两侧符号不变，那么 不是拐点。

5. 确定拐点坐标：一旦确定了拐点的横坐标，就可以将其代入原函数 中求得拐点的纵坐标。

下面是一个具体的例子：

假设我们有函数 。

1. 求一阶导数：。
2. 求二阶导数：。
3. 解方程 ：得 。
4. 检查凹凸性：在 的左侧，比如取 ，，是负的；在 的右侧，比如取 ，，是正的。因此，函数在 处由凹变凸。
5. 确定拐点坐标：。所以拐点坐标是 。

通过以上步骤，我们就可以找到并验证函数的拐点。